NO.1162 高考成绩、基金收益有什么共同点？

你好，这里是罗胖精选。

今天继续推荐刘嘉老师的课程《概率论22讲》。

刘嘉老师讲，概率论解决问题的方式，就是把随机性上升为确定性，从而让我们对未来有一个相对准确的判断。

今天，我们就来看一些具体的例子。刘嘉老师说，很多我们生活中的现象，像什么身高、智商，还有高考成绩、基金收益，甚至包括电脑的开机时间、天体的运行轨迹，都可以从概率论的角度来把握。而这个把握的模型，就是正态分布。

那怎么用正态分布，来构建认识世界的模型呢？接下来，就让我们一起听听刘嘉老师是怎么说的。

你好，欢迎来到我的概率论课。我是刘嘉。

上一讲，我们从整体上理解了概率分布，知道了概率分布模型是对现实规律的抽象总结。从这一讲开始，我们就深入学习几个典型的概率分布模型。

概率分布模型有几十种，从哪一个讲起呢？

你去问任何一个概率老师，得到的答案肯定只有一个——正态分布。原因很简单，正态分布是概率分布中最重要的分布。在数学家眼里，它是远远高于其他分布的。

这一讲，我们就先了解一下正态分布的数学性质和应用；下一讲，再看看正态分布到底有多重要。

正态分布的发现

要讲正态分布，我们得从天文学史上的一桩公案说起。

1801年初，一个神秘的天体出现在天文学家的视野中，几周之后又神秘消失。它是什么？又去了哪儿？没人知道。正在所有人都束手无策之时，“数学王子”高斯站了出来，他用一支笔计算出了这个天体的运行轨道。果然，在高斯指定的位置，人们重新发现了它。这就是人类发现的第一颗矮行星——谷神星。

你可能好奇，高斯是怎么计算出这颗天体的运行轨道的呢？很简单，他在计算的过程中使用了正态分布。

没有正态分布，人类束手无策；有了正态分布，竟然能精准计算一颗遥远的天体的位置。你说正态分布厉害不厉害？

而且从此以后，正态分布就席卷一切，不仅推动了数学、统计学、物理学、工程学等众多领域的发展，而且还有很多其他的分布，比如说对数正态分布、T分布、F分布都是直接由正态分布推导出来的。

“正态分布”这个词，听上去挺复杂的，但它的英文表达就简单多了，叫normal distribution，直接翻译过来就是“正常的分布”“一般的分布”。咱们国家台湾的教科书通常叫它“常态分布”。其它分布都是特殊的，只有正态分布是一般的、正常的。从名字上，我们也能感受到它的重要性。

作为数学史上数一数二的人物，高斯的伟大发现不胜枚举。甚至有人说，在高斯所在的那个时代，几乎所有伟大的数学成就都是高斯最先发现的。所以，高斯并不觉得自己发现正态分布是多了不起的事情，他的墓志铭上，刻的也是他的正十七边形，而没有提正态分布的事。

但后人不这么认为，德国为了纪念高斯，就在10马克的钞票上印上了高斯的头像，而在头像旁边的，就是正态分布的钟形曲线。

正态分布的三个数学特性

有趣的是，正态分布不仅非常重要，而且还特别简单。

说起正态分布曲线，你肯定见到过——一条对称的倒钟形曲线，中间很高，两边下降，像个鼓起的小山包。

这条曲线究竟是什么意思呢？下面我带着你简单了解一下，以后你就能看懂它了。

在正态分布的曲线图里，横坐标代表随机变量的取值范围，越往右，随机变量的值就越大；纵坐标，则代表概率的大小，最底下的概率是0，越往上概率越大。这样，从曲线上随便找一点，确定它的横坐标、纵坐标，我们就知道了这个值出现的概率是多少。

因为这条曲线是左右对称的，所以中间的最高点，就代表平均值出现的概率最大，数据最多；而两边陡峭下降，就意味着越靠近平均值，数据越多；越远离平均值，数据就越少。

当然，我们不能停留在这种粗糙的描述上，要理解正态分布，必须了解它的三个数学性质。

性质一：均值就是期望。

也就是说，正态分布曲线中间最高点的横坐标，不仅代表随机变量的平均值，而且还等于它的数学期望。这是经过数学证明的，你不用太纠结。在概率论中，正态分布的均值和期望就是一个意思，是一件事儿的两种表达。

这就很有意思了。我们前面讲过，数学期望代表长期价值，而现在平均值又是数学期望。也就是说，在正态分布中，平均值就代表随机事件的价值。

为什么我们会用高考的平均成绩，衡量一所高中的教学质量？为什么我们会用平均收益率，衡量一家基金公司的好坏？原因很简单，高考成绩和基金公司的收益，是服从正态分布的。而在正态分布中，平均值就代表这个随机事件的价值。

但提醒你一下，在正态分布里，平均值才具有这样的意义。如果不是正态分布，均值可能就没啥意义了。比如说地震，谁也没听说过平均强度和平均损失这样的说法吧？

性质二：极端值很少。

还记得正态分布的图吗？越靠近平均值，这条曲线越高，出现的概率越大；越远离平均值，这条曲线就越低，出现的概率就越小。这就说明，正态分布的大多数数据都集中在平均值附近，极端值很少。

“极端值很少”这句话，有两层含义：一是极端值出现的概率很低，二是极端值对均值的影响很小。也因此，正态分布是非常稳定的。拿人的身高来说吧，它大体服从正态分布，所以即使姚明加入我们课程，我们的平均身高也不会有太大变化。

当然，如果不服从正态分布，均值往往就很不稳定。

性质三：标准差决定胖瘦。

如果留心你会发现，同样是正态分布图，有的曲线要矮胖一些，有的要高瘦一点，这是为什么呢？

其实就是因为标准差不同。前面讲过，标准差就是方差的平方根，也能用来描述随机变量的波动情况。在正态分布中，标准差越大，数据的波动越剧烈，钟形曲线就越矮胖；标准差越小，数据越集中，钟形曲线就越高瘦。

为什么刚才说正态分布简单？就是因为在正态分布中，平均值等于期望，决定这条曲线的最高点；方差决定胖瘦，决定曲线的弯曲度。简单两个数据，就确定了这条曲线的形状。你说简单不简单？

正态分布的现实应用

日常生活中，正态分布的应用随处可见。

当你打开电脑时，某产品会告诉你，“你的开机时间23秒，打败了全国97%的用户”。“23秒”你可能没概念，但“打败了全国97%的用户”一下子就让会你明白快还是慢。不过你有没有想过，这个97%是怎么来的？是要把全国每台电脑的开机时间都收集起来，做个排序吗？这太复杂了吧？

其实不是这样的。他们只是构建了一个正态分布的模型而已。

我们知道，大部分电脑的开机速度都差不多，只有小部分快一点或慢一点，可以认为它服从正态分布。而刚才说了，正态分布很简单，只要均值和标准差两个数据就能完全确定。所以，只要随机抽取一部分用户的开机数据，算出均值和标准差，就可以确定一条正态分布曲线。

而在正态分布中，一个标准差覆盖68.26%的数据，两个标准差覆盖95.44%的数据……都是一一对应、完全确定的。

有了这层关系，当你的电脑开机的时候，它只需要比较你的开机时间和均值的差距，就能知道你距离均值多少个标准差，也就知道你的排名了。

正态分布，为我们提供了一个估算个体在整体中位置的便捷方法。像智商、身高、考试成绩，只要服从正态分布，我们就都能这样快速得到答案。

一个正态分布可以分析，不同的正态分布曲线能比较吗？

也能的。

第一，只有均值不同，能比较好坏。

比如两条生产线制造的产品，标准差一致，怎么比较呢？当然是平均合格率越高，品控做得越好。前面说了，正态分布里均值等于期望，就代表长期价值。

第二，只有标准差不同，能比较波动。

最典型的就是男女智商了。两条曲线在均值上相似，但是男性的智商曲线要矮胖一些，女性的高瘦一点。换句话说，均值相同，标准差不同。这说明什么呢？

前面说过，标准差代表波动程度，代表极端数据出现的概率。所以这就是说，从整体上看，男女智商没有高低之分，男性并不比女性更聪明；但男性的智商波动更大——在智商超群的人中间，男性的数量要多于女性；当然，智商堪忧的人中间，男性也同样更多。

第三，标准差和均值都不同，能比较专业和业余。

比如个人的射击成绩，都是在平均成绩上下波动，基本服从正态分布。

如果我和射击冠军许海峰比赛，结果你能想象——我的成绩肯定变化极大，有时候蒙中10环，有时候脱靶，大多数可能都是3、4环；而许海峰肯定特别稳定，基本都是10环。均值上，他更高，成绩更好；标准差上，他更小，成绩更稳定。这就说明，许海峰比我专业得多。

其他人总是用“刻意练习”“精准”等来评价专业和业余，但在数学家看来，这些词都太模糊。真正精确的标准只有两个——均值和标准差。专业就是均值更高，标准差更小，业余恰恰相反。

思考题

为什么国家一公布居民收入数据，就有很多人说自己被平均了，甚至怀疑数据有问题呢？你能用这一讲的知识分析一下吗？

下节预告

前面我一直谨慎的说“正态分布是重要的分布”，但这一讲最后，我一定要说——正态分布是概率分布中的神。为什么这么说呢？下一讲讲中心极限定理的时候我来告诉你。

我是刘嘉，我们下一讲再见。

内容听完了，我是罗胖。

我们得到同学给刘嘉老师的《概率论》课程起了一个外号，叫做“生活中的概率论”。因为刘嘉老师会从概率论的视角，带你理解生活中各种各样的现象：从汽车保险怎么定价，到打麻将怎么胡牌，你都可以从概率论的角度，得出全新的解释。

你在得到App首页搜索“概率”两个字，就可以看到刘嘉老师的《概率论22讲》这门课程。刘嘉老师正在课程里，还有知识城邦，驻场答疑。推荐你现在就加入学习。

罗胖精选，明天见。