NO.1428 什么是数学思维?


你好,这里是罗胖精选。

我们刚刚出品了一套吴军老师的新书:《吴军阅读与写作讲义》和《吴军数学通识讲义》。今天的内容,就是我们请吴军老师专门给咱们罗胖精选的同学写的一封信,讲的是数学思维。

很多人一听数学这个词啊,感觉头都大了。尽管我们从小学到高中,学了十几年的数学,但是很多人还是学不好。尤其是像我这样的文科生,好不容易不用数学考试了,干嘛还要看一本和数学有关的书呢?

到底什么才是数学思维?该怎么训练数学思维?以及对于已经走出校门的成年人来说,回过头来接受数学通识教育的意义是什么呢?

接下来,让我们听听吴军老师是怎么说的。

如果要问人类的理性精神最具持久力和影响力的知识体系是什么,答案是数学;如果有外星高等文明想和人类进行交流,最方便的语言是什么,答案也是数学。

在今天,无论你的专业和工作是什么,你都会发现,数学这一底层学科知识是不是牢固,会影响一个人的知识结构能搭多高,在专业上能走多远。作为一切科学的基础,数学具有化繁为简,直击本质的思考方式。那些数学成绩好的人,做起事来总是一通百通,很容易脱颖而出。对于理工科或者商科的学生来讲,他们的感受可能会比较明显一些。但是我想说,对于学习人文和社会学科、甚至学习艺术的人来讲,学懂数学也同样有好处。

是否每一个人都有可能学好数学呢?公平地讲,数学往深了学确实很费脑力,对大多数人来讲有点难度,但是把平时用到的、能够提升我们思维认知的数学学好,是每个人都能做到的。

以数学中最基本的概念“数字”为例。每个人都是从小就学数字,但其实一直到高中、大学,可能你对数字的认识都没有提高多少,这也是你学习数学多年都不能让数学为己所用的原因。

照理讲,我们的认知水平应该随着所学内容难度的提升而提升,但是通常不是如此。比如,对于无穷大和无穷小这样的概念,很多人依然以为它们只是巨大的数字和极小的数字。事实上和我们日常遇到的具体数字不同,无穷大和无穷小代表着变化的趋势和变化的快慢。因此学到这两个概念时,大家对数字的理解就应该从静态升级到动态,但遗憾的是,很多人并没有这样的认识。

再比如数字中的“虚数”概念,由于这是一个虚构出的概念,很多人就会想虚数很难理解,工作生活中也用不到,学习它有什么用呢?事实上,对于“虚数”,我们真正要关注的是,理解虚构工具的作用,学会用虚构的工具来处理实际问题。

我们的祖先现代智人超过其他动物的地方就在于,能够在头脑中虚构出那些原本不存在的东西,比如神、法律、国家、典章、货币等等,这些最初都是人类在发展过程中虚构出来的东西,没有它们就没有我们社会的发展。

为了让你更好地理解这一点,我们不妨来看一个法律学概念“法人”。早期的罗马法中提出了法律主体的概念,它最初只涉及自由人,后来因为要处理经济纠纷,就把一些机构看成是法律的主体,当作人一样看待,这就是法人概念的来源。这些法人,其实就相当于数学中虚数的概念。今天我们和一个公司打官司,这个过程中我们接触到的都是个人,但你不会告公司里面某个具体的人,而是针对这个虚构出的法人。当你打赢官司,是公司里面具体的人执行赔偿,但你拿到的赔偿其实是法人这个机构给你的。这就如同解方程,我们需要借助虚数得到实数的解一样。

我们再来看数学中的“向量”这个概念。“向量”的发明,把数字从单纯的数值,变成了有方向的数值,让我们的认知从初等代数,提升为高等代数。对于同一道题目,从小学到大学,理解是不同的,这是一个从单纯理解数字大小,到理解数字方向性的过程。

在小学时,如果我们看到一道题说,张三以50牛的力拉箱子,李四以30牛的力拉箱子,那么两个人拉箱子的合力是多少?答案很简单,就是80牛。

但是到了初中,我们有了负数的概念,我们就要问他们拉箱子的力是相同的还是相反的,如果是相反的,合力就只有20牛。

再往上学,我们就要问他们拉箱子的力的方向夹角是多少度,在夹角为90度和120度时,合力可是完全不同的,这时我们就进入到了更高级的思维。

再来看一个更难的知识——“微积分”,这已经是高等数学的内容了。微积分的重要性,不在于那些复杂的公式,而在于一套看待世界的高阶思维。

首先,什么是微积分?

我们举个例子:一辆车开了10分钟,经过10公里,速度就是每小时60公里。但这是全程的平均速度。如果汽车撞了墙,决定车内司机与乘客受伤与否的,是撞车那一刻的瞬间速度。而要计算那个瞬间的速度,就需要理解“微分”这个概念。

牛顿把时间切分得越来越短,从1秒,到0.001秒,再到0.000001秒……当时间无限小,速度就成了瞬间速度——这就是微分。

微分的本质,是把一个宏观的整体,拆分成微观的局部来了解。而积分的本质则正好是反过来的,就是从微观了解宏观、从局部了解整体、从趋势了解总量。

值得一提的是,积分有滞后效应——当增长趋势到达最高时,总量要隔一段时间才会到达顶峰,我们有时候也把这种效应称为“飞轮效应”。形象地说,就是如果对飞轮用力,飞轮能够瞬间就获得加速度,但是速度不是瞬间就提上去的,而是会滞后一段时间。

在工作和生活中,我们的努力就如同对飞轮用力。今天努力了,你自己是知道的,但是想要有所收获,需要一段时间努力的积累,这就是做积分。积累一段时间,我们的能力就会得到提升,再过一段时间,我们才能在大家心目中树立起好形象。简单的讲,能力是努力的积分,成绩是能力的积分,好形象是成绩的积分。

反之,人在顺境自满的时候,也容易忽略这点。看着事业大好便开始飘飘然停止努力,事业并不会立刻搞砸,最初只是放缓,再过一阵子,业务才开始下坡。当上司、老板终于不满时,你以为别人在挑刺,其实荒废的种子早就种下了。

世界上有两种所谓的聪明人,一种是反应很快的人,被称为Quick Thinker,也就是“快速反应者”,另一类则是Deep Thinker,也被称为Hard Thinker,也就是“深入思考者”。无论是哪一种,其实都是可以后天训练的。训练“快速反应”最好的办法就是多听多看。但是训练“深入思考”,就需要练习一环扣一环解套的本事了。而学数学就能够提高我们这方面的能力。用数学做这种训练的好处是,它经过上千年的发展,已经有一整套训练材料了。所以学数学通识,就像打游戏晋级一样,一点点往前探索,一个个击破难题。

那么我们又该如何学习数学通识呢?由于数学的知识体系非常庞大,想了解数学的每一个分支几乎是不可能的事情。所幸,数学各个分支从体系的构建到研究方法、再到应用方法,都是共通的,重点理解数学的底层逻辑和方法就可以了。围绕这一目的,我的《吴军数学通识讲义》这本书精心挑选了七部分内容,分别是:基础篇、数字篇、几何篇、代数篇、微积分篇、概率和数理统计篇,以及终篇。

在基础篇中,我们要讲述数学是什么,它和自然科学有什么不同,人类对数学的认知是如何发展的。当然,这样空洞的讲解没有意思,我们需要一个线索将相关的知识点和方法串联起来,这个线索就是毕达哥拉斯。

在数字篇中,你会看到数字这个概念是如何起源、发展并且被不断拓宽的。这一篇希望帮助大家通过认识数字的发展历程,理解数学作为工具的作用,了解人类的认识从具体到抽象、从有限到无限的过程,这样就更容易掌握数学思维的精髓了。

在几何篇中,我们将重点放在几何的公理化体系上,这是几何学最大的特点,也让几何学成了逻辑上最严密的数学分支。人类在搭建几何学大厦时,先是有了一些直观认识,然后从一些例子中总结出一个被称为引理的简单规律,引理的扩展可能会导致定理的出现,这就是几何学的产生和公理化的过程。它既是数学发展的过程,也是我们组织本书内容的思路。

在代数篇中,我们会重点介绍函数、向量和矩阵。函数这个概念的发明,让人类的认知从个体上升到整体,从点对点的单线联系上升到规律性的联系。理解了这一点,我们就从小学数学思维上升到中学数学思维了。而到了大学,对于数字的理解,需要从单纯理解数字的大小,发展到理解数的方向性,这就是向量的概念。很多向量放到一起,就形成了矩阵。在今天,矩阵有很多的用途,甚至有很多你想象不到的应用场景,我也会向你一一介绍。

接下来是微积分篇。前面我们已经提到,微积分思维在于动态看待事情,从宏观看微观、从趋势看总量。人们对数学的认知,从关注静态的关系,发展到对动态规律、特别是瞬间规律的把握。理解这一点,并且主动应用到工作中,是我们学习微积分的目的。那些很难的概念,解题技巧,其实并不重要。

再往后,我们就要从确定性的世界进入不确定性的世界,这就是概率和数理统计篇的内容了。从初等数学到微积分,人类对规律的把握越来越确定、越来越精细,但是到了近代,很多现实问题很难有完全确定的答案。于是,为了研究不确定性世界的规律性,概率论和统计学发展起来了。概率论和统计学在今天充满不确定性的世界里非常重要,也是所谓的大数据思维的科学基础。

到此为止,理工科大学生所需要具备的数学基础就介绍完了。最后我们还要将数学放回到人类整个知识体系中来看一下,这就是我们在终篇中所要讲述的内容,也就是数学在人类知识体系中的位置。

无论是在数学的整个体系中,还是数学的每一个分支之内,我们都能看到人类认知升级的过程。而我觉得最重要的是,我们在学习中,也应该按照人类认知的升级过程,提升自己的认知,训练自己的思维。把自己对世界、对变化、对规律的理解,从静态的、孤立的和具体的层面,上升到动态的、连续的和规律性的层面。这种看待世界、处理问题的方法一旦形成并变为习惯,学习数学通识的目的就达到了。能够做到这一点,才算是从初等数学进入到高等数学的认知水平,对数学的理解,才能算是完整的。

内容听完了,我是罗胖。

数学经过了上千年的发展,已经总结出了一整套解决问题的方法。听完了刚才吴军老师的介绍,我们文科生也能明白了:原来了解一点虚数,可以帮助我们顿悟虚构的工具有多重要;稍微了解一点向量,可以帮助我们理解数量有时候不如方向重要;稍微了解一点微积分,可以帮助我们理解从变化的角度来看待世界有多重要,等等。这些道理,不用我们反复探索,数学其实已经告诉我们了。

所以,从这个角度来说,我们这些普通人了解一点数学有什么用?不是为了做题,也不是为了考试,更不是为了乐趣,而是为了看一眼人类的工具箱,看看里面到底还有什么解决问题的好武器。

吴军老师的这本《吴军数学通识讲义》,之所以叫“通识”,其实远远不只是简单易懂,更重要的是,它是专门为数学的外行而写的,就是要告诉我们:我们面对的那些难题,在数学世界里,早就为我们准备好了哪些启发。

罗胖精选,明天见。