NO.1264 吴军:数学给了我什么启发?


你好,这里是罗胖精选。

今天,我们荣幸地宣布一件事,那就是吴军老师的著作《数学之美》,最新版电子书在得到App上架了,而且是独家。其他地方哪儿都没有,要看电子书只能在得到App。

懂行人都知道,吴军老师的这本《数学之美》江湖地位有多高。他曾经点燃了无数人学习数学的热情。很多大学老师都把这本书列为大学生的必读书。我们很多用户也都是心心念念,问电子书什么时候上架。今天我们终于给你争取到了。

吴军老师其他的著作,像什么《浪潮之巅》,还有我们得到出品的《态度》《全球科技通史》,以往只有纸书,现在在得到App也有电子书全本。吴军老师的其他著作,我们也在通过和出版社谈判、请吴军老师修订,还有排版制作等工作,陆续上齐。今后,想看吴军老师的电子书,就到得到App。

好,我们接着听内容。今天的精选来自吴军老师的《数学通识50讲》。这是吴军老师专门为我们得到用户打造的一门通识课程,跟书的内容很不一样。其中有一讲,今天分享给你。你听听看是不是有收获。

下面就让我们一起听吴军老师讲一讲:我们可以从数学这个学科里得到哪些启发?

你好,欢迎来到我的《数学通识50讲》。

对于那些过去学过微积分的人,可能会发现我的讲法和大学里完全不同,我并没有强调具体的知识点,而是在改变大家的一种思维方式,从孤立、静止地看待一个个数学定理,做一道道数学题,变成用动态发展的眼光,从趋势来理解世界。这个过程,就是人的认知从初等,到高等的过程。

我回顾自己学习高等数学的道路,发现大家走过的弯路我也都走过,做了很多没必要的数学题。当时苏联吉米多维奇的《数学分析习题集》我大约做了三分之一(这套书里面有4000多道题),考试却不一定能考好。

突然有一天我决定不做了,数学分析考成什么样就是什么样了,这时觉得有一种解脱。腾出时间后,把基本的概念理解清楚,结果成绩也不差。

后来到了研究生时,学了数学系更底层的数学课,发现我过去完全学错了,不是老师内容讲得不对,而是没有学到该学的东西。那些题其实我根本不需要会做,如果将来遇到,要么查参考书,要么用计算机工具解决就可以了。

关键是我在20岁之前,不理解应该用什么样的眼光来认识数学,看待数学里的那些概念和方法。后来当我懂得了高等数学本质上是对趋势的动态描述,是对各种相关性抽象的表述后,再回头看微积分,就觉得容易得不得了了。非常遗憾我在刚上大学时,没有人这么引导我。

数学的世界,在很大程度上可以被看成是我们这个真实世界高度抽象的结果,它的概念是对我们生活中各种对象的浓缩,它的规律是我们生活中很多规律的抽象表述。因此在有了一些生活阅历后,再回过头来看看数学书,我有时会把一些零碎的想法和头绪理清楚。今天我和你分享我的9个体会:

1.有穷和无穷

我们花了不少篇幅在讲无穷大,特别强调在无穷大的世界里,有限生活的不适用。这种感觉有时让我觉得个人的渺小和见识短浅。很多时候,处于很底层的人,是无法理解高层人的想法的。

我们常说“贫穷限制了想象力”,其实贫穷不会限制想象力,贫穷的人可以胡思乱想,但是他们在某一些维度上的经验极少,以至于让人觉得是刘姥姥进大观园。

十年前中国有一本关于罗斯柴尔德家族和美联储的阴谋论的书,我的一些做投资的朋友看了后说,这个作者一定是个穷人,不曾拥有过大钱,不知道世界上的钱放在哪里。

这位作者缺的不是想象力,而是凭空想象的世界完全不靠谱。胡思乱想不会增加自己的智慧,倒是像苏格拉底那样,知道自己的知识有穷尽,而未知世界无穷尽,反而会更接近真理,更容易提高自己的认知。

2.静态和动态

我们的世界需要静态,没有静态的稳定,我们就无法立足。但是,很多时候,我们做事情需要以动态作前提假设,这就如同在足球赛中,除了罚定位球,没有人给你机会站着不动从容射门的。从初等数学到高等数学,就是要把看数学的眼光,从一个个静态的数字、孤立的公式,上升到动态变化的趋势。

比如我们在谈论无穷大这个概念时,我一再强调要把它看成是一个动态的趋势,而不是一个大数。我还特别讲了,x²这个函数,在无穷大的世界里,要比10000x大得多。中国有句话,叫做莫嫌少年贫,其实很有道理,我们看待一个年轻人,要看他成长的趋势,而不是现在有多少钱。

很多人在创业时,喜欢凑热闹,找风口,生怕错过了机会。我对他们讲,如果那个时间窗只有几个月、半年,那根本不是机会,只是一次投机而已。这就是静态地看待时机。真正的大趋势,总是持续十几年甚至几十年,是不容易错过的,几十年复合增长下来,比任何投机获利都大,这就是对动态看世界的人的褒奖。

3.精明与聪明

从静态和动态的关系,让我想到这个话题。

有人觉得数学好的会算账,遇事可以精明不吃亏。但是过分精明的结果就是眼睛都盯在了眼前的利益上,看不到长期的利益,这样反而不聪明了。

比如在投资方面,很多人喜欢寻找低买高卖的机会赚差价,他们有时会得手,但是失手的时候一般比得手更多,更糟糕的是,这些人永远无法把握长期增长的机会。事实上,任何一个向上持续增长的趋势,假以时日,都能涨得很多很快。

4.现实与虚构

数学中很多工具都是建立在世界并不存在的虚构概念之上的,但是,将它们用于现实的社会非常有用,比如说无理数便是如此。人不仅要有形象思维,更要有抽象思维,能够通过抽象思维理解无理数,那么学习物理,做信号处理的工作,搞控制系统,都会很顺手。

人是特别善于创造虚拟概念的物种,我们今天的生活其实离不开各种虚拟物作为实体的媒介。比如说,世界上的财富是真实的,但是度量它们的货币其实是人虚拟出来的。你不可能在买东西时把真实的财富带在身上,大家只把自己在银行账上的钱从一个虚拟的空间搬到另一个去而已。

不仅钱是虚的,很多实实在在的商品虚拟意义也大于实际意义。据估计,个人手里的茅台酒在被喝掉之前,会被当作礼品转手不下十次,它就像数学中那些虚构的概念一样,而不是简单的酒精饮料,没有它们,真实世界的问题就不好解决。

5.攒钱和赚钱

我在《硅谷来信》有一次谈到钱,讲到没有人靠攒钱发财的,发财要靠赚钱。今天攒钱,钱实际上在不断贬值,虽然各国公布的CPI看似并不高,但是CPI并不包括房价的上涨。我们在前面介绍指数函数时讲过,如果每年购买力萎缩10%,用不了几年购买力就少掉一半。

但是,年轻人只要努力,一年收入增长20%,还是能做到的。事实上,在过去的30年里,北京计算机专业毕业生的入职年薪平均每年上涨17%,有经验的优秀从业者后来的增长速度更快。

我们在前面的课程中讲了,往无穷小变化的趋势和往无穷大变化的趋势如果相乘,最后是清零,是常数,还是不断放大,就看谁的阶高了。

通胀、房价上涨等因素都是将财富贬值到无穷小的力量,而且不是人为可控的因素;但是另一方面,收入的增长则是让财富往无穷大增长的力量,对每个人来讲最终就看哪个力量大了。因此,财富靠赚,而不靠攒。

6.直觉和逻辑

我们的直觉常常是对的,但是这只是在我们熟悉或者能够感知到的世界里。世界的很多规律和我们的直觉不一致,比如我们说的芝诺悖论和贝克莱的无穷小悖论,就是因为我们的直觉和无穷小世界里的规律不一致所造成的。

逻辑可以帮助我们分析清楚我们看不到的事情,甚至不存在的事情。在课程中,我们举了伽利略的例子,他之所以认定亚里士多德关于质量重的球先落地是错误的结论,是因为找到了这种说法的逻辑错误。这一类例子,在生活中不胜枚举。

7.概念和表述

今天,交流在我们的生活中占据重要的位置。将一件事情表述清楚非常重要,很多时候,我们需要通过彼此能够理解的形象的比喻来说明,这就如同我们在讲述极限这个概念时用“越来越接近”描述。

但是,在很多场合,这样形象的描述还不够,还需要用极为严格的语言表述,数学的语言是一种,法律的语言也是一种,更普遍地讲,任何专业的术语都是为了这个目的而出现的。做事专业,就需要掌握专业的术语。

8.朋友和理性的对手

很多时候,取得小成就要靠朋友帮忙,但是要取得惊人的成就,就需要一个理性的对手。在数学的发展史上,芝诺、贝克莱,以及后面我们要讲到的罗素,都起到了反角的作用。正是他们给尚未完善的数学体系挑毛病,才让数学体系变得完美。

我们在前面讲到金融危机时,似乎经济学家们没有预警,实际上当所有的人都在赞同同一个想法时,根本无法发现系统中的漏洞。因此,我们在工作中,对于那些理性的对手,即使不喜欢,我们也应该尊重他们的意见,因为那些看似不同的意见,恰恰是我们进步所需要的。

9.荣誉和财富

科学是没有专利可言的,因为科学家们所发现的规律是客观存在的,只是他们发现了而已,因此科学很难直接带来财富。而技术是有专利可言的,因为他们是使用科学改变世界的方法。它们不能混为一谈。

对科学家最大的褒赏是荣誉,因此今天科学家们争的是谁第一个发现某个规律,而不是保守秘密。

我们在前面讲了三次方程解法被发现的故事。其中的费罗和塔尔塔利亚,他们试图把科学变成独占的成果,这是行不通的。今天绝大部分数学家,会知道卡尔达诺和费拉里对解方程的贡献,对费罗所知甚少。原因就是前者将这些方法告诉了世人。

对于搞技术的人来讲,将科学变成改变世界的产品是他们所追求的,有可能带来财富。因此,技术是要独占的。虽然我们说科学无国界,但是技术从来就是有国界,不仅有国界,甚至有公司的边界。

对于一个人来讲,他需要搞清楚的,就是自己想要什么。

我学习微积分是三十多年前的事情了,很多具体的内容已经想不起来了,但是学习了之后,人的思维方式改变了。因此,从通识教育的目的来看,我应该算是达到了。今天借着复盘的机会,和你分享一下我从数学中得到的启发,希望能供你参考。